Question

7．（1）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
（2）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠BAC=2∠B，AC=6，过点A作⊙O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）由垂直定义得∠E=∠CFD=90°，根据中线知BD=CD，利用“AAS”证△BED≌△CFD可得答案；
（2）根据AB是圆的直径，则△ABC是直角三角形，根据∠BAC=2∠B即可求得∠BAC的度数，证得△OAC是等边三角形．再根据PA是圆的切线，可以证得∠P=30°，则可求得OP的长，在直角△OAP中，利用勾股定理即可求得PA的长．

解答 解：（1）∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F，
∴∠E=∠CFD=90°，
∵AD是中线，
∵BD=CD，
在△BED和△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠CDF}\\{∠E=∠CFD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF；

（2）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
又∵∠BAC=2∠B
∴∠B=30°，∠BAC=60°
∵OA=OC
∴△OAC是等边三角形．
∴OA=AC=6，∠AOC=60°
∵AP是⊙O的切线．
∴∠OAP=90°
∴在直角△OAP中，∠P=90°-∠AOC=90°-60°=30°
∴OP=2OA=2×6=12，
∴PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质及切线的性质定理，勾股定理以及直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，正确证明△AOC是等边三角形是解决本题的关键．