Question

 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，BD∥AC．
（1）图中∠OCD=

 

°，理由是

 

；
（2）⊙O的半径为3，AC=4，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）根据切线的性质定理，即可解答；
（2）首先证明△ABC∽△CDB，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，（圆的切线垂直于经过切点的半径）
∴∠OCD=90°；
故答案是：90，圆的切线垂直于经过切点的半径；

（2）连接BC．
∵BD∥AC，
∴∠CBD=∠OCD=90°，
∴在直角△ABC中，
BC=

AB2-AC2

=

62-42

=2

5

，
∠A+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠ABC，
∴∠A+∠BCO=90°，
又∵∠OCD=90°，
即∠BCO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
又∵∠CBD=∠ACB，
∴△ABC∽△CDB，
∴

CD

AB

=

BC

AC

，
∴

CD

6

=

2 5

4

，
解得：CD=3

5

．

点评：本题考查了切线的性质定理以及相似三角形的判定与性质，证明两个三角形相似是本题的关键．