Question

如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线.点P是上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,
∴点B 坐标为（6 ，0 ）.将点B 坐标代入得：36+12=0,
∴=.
∴抛物线解析式为，
当=3时，,
∴顶点A坐标为（3，3）.
（2 ）设直线AB 解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),
∴  
解得,  
∴.
∵直线∥AB且过点O,
∴直线解析式为.
∵点是上一动点且横坐标为,
∴点坐标为（）.
当在第四象限时（t＞0），
S=+
=×6×3+×6×
=9+3.
∵0＜S≤18,
∴0＜9+3≤18,
∴-3＜≤3.
又＞0,
∴0＜≤3.
当在第二象限时（＜0）,作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则
S=+-
=[3+(-t)](3-t)+×3×3-×(-t)×(-t)
=(t-3)²+-t²
=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.
∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.
(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.