Question

如图，⊙O的半径等于R，AB，CD都是⊙O的直径，=120°，P点在上，PA交CD于M，PC交AB于N．
（1）求证OM+ON是一个定值；
（2）写出图中所有的相似三角形．

Answer 1

解：（1）连接AD、CB，
∵AB，CD都是⊙O的直径，=120°，
∴∠ADO=∠CBO=60°
∴△ADO和△CBO都是等边三角形，
∴∠ADM=∠CON、∠DAP=∠DCP、AD=AO=OB=BC，
∴△ADM≌△CON，
∴ON=DM，
∴OM+ON=OM+DM=OD=R，
∴OM+ON是一个定值；

（2）∵∠AOM=∠APC，∠PAB=∠PAB，
∴△OAM∽△APN，
∵∠CON=∠CPA，∠DCP=∠DCP，
∴△CON∽△CPM．
分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到△ADO和△CBO都是等边三角形，从而证得△ADM≌△CON，OM+ON=OM+DM=OD=R．
（2）利用同弧或等弧所对的圆周角相等得到相等的角，然后证得相似的三角形即可．
点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定及性质，解决本题的关键是正确地作出辅助线．