Question

8．已知x的一元二次方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，设它的两个根分别为x₁、x₂．
（1）求k的取值范围．
（2）若x₁、x₂满足x₁x₂-（x₁+x₂）=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（k-2）²-4（k²+4）=-16k≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到得x₁+x₂=-2（k-2）=-2k+4，x₁x₂=k²+4，将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，
∴△=4（k-2）²-4（k²+4）=-16k≥0，
∴k≤0；

（2）∵一元二次方程x²+2（k-2）x+k²+4=0的两个根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2）=-2k+4，x₁x₂=k²+4，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）=k²+4-（-2k+4）=k²+2k=3，
解得：k₁=-3，k₂=1，
∵k≤0，
∴k=-3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．