Question

已知：如图，Rt△ABC中，点D在斜边AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接DE
并延长，与AC的延长线交于点F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若AC=3，BD=1，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°．
∴∠OEB=∠ACB=90°．
∴OE∥AC．
∴∠F=∠OED．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠F=∠ODE=∠ADF．
∴AD=AF；
（2）设⊙O的半径是r．
∵OE∥AC，
∴△OBE∽△ABC．
∴．
当AC=3，BD=1时
得 ．
解得，r=．
∴AF=AD=2r=1+．
∴CF=AF-AC=1+-3=-2．
分析：（1）连接OE，由切线的性质和圆的半径相等以及平行线的性质证明∠F=∠ODE=∠ADF即可证明AD=AF；
（2）设⊙O的半径是r，由OE∥AC，可得△OBE∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出r的值，因为AF=AD=2r，所以CF的长也可求出．
点评：主要考查了切线的判定方法和相似三角形的判定以及性质．要掌握这些基本性质才会在综合习题中灵活运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．