Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线交于P．下面结论：
①$DB=\sqrt{2}BE$，②∠A=∠BHE，③AB=BH，④△BHD∽△BDP．
请你把你认为正确的结论的番号都填上①②③ （填错一个该题得0分）

Answer 1

分析 通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；利用平行线的性质可得AP∥BC，则∠ADP=∠DBC=45°，利用三角形外角性质得∠P＜45°，而∠BDH=45°，加上△BHD与△BDP有一个公共角，则可判断△BHD与△BDP不相似，于是可对④进行判断；

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，所以①正确；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠C}\\{∠HEB=∠CED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，所以③正确；
∵AP∥BC，
∴∠ADP=∠DBC=45°，
∴∠BDP=135°，
∴∠P＜45°，
而∠BDH=45°，
∴∠BDGP≠∠P，
∴△BHD与△BDP不相似，所以④错误；
∴正确的有①②③；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．