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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点，（x1＜精英家教网x2）且（x1+1）（x2+1）=5
    （1）试确定m的值；
    （2）过点A（-1，-5）和抛物线的顶点M的直线交x轴于点B，求B点的坐标；
    （3）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．
    分析：（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式（x1+1）（x2+1）=5，并结合△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，解出即可；
    （2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，又∵A（-1，-5），用待定系数法可求出直线的解析式，令y=0，即可求出x，得点B的坐标；
    （3）点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=
    1
    2
    RQ•PN    =
    1
    2
    |6a-2||a|    ，分类讨论解答出即可．
    解答：精英家教网解：（1）因为抛物线y=mx2+（3-m）x+m2+m交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点（x1＜x2）且（x1+1）（x2+1）=5，
    ∴m≠0
    ∵x1+x2=
    m-3
    m
    ，x1x2=
    m2+m
    m
    ，且△=（3-m）2-4m（m2+m）＞0，
    又∵x1x2+x1+x2+1=5，
    ∴
    m2+m
    m
    +
    m-3
    m
    +1=5    ，
    解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
    ∴m=-1；

    （2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+4x，
    ∴顶点M的坐标为（2，4）．如图，
    设直线AM的解析式为y=kx+b，
    ∵A（-1，-5），
    则有
    -5=-k+b
    4=2k+b
    ，
    解得
    k=3
    b=-2
    ，
    ∴y=3x-2，
    当y=0时，x=
    2
    3
    ，
    ∴B点的坐标为（
    2
    3
    ，0）；

    （3）依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
    ∴0＜a≤2，
    ∴Q点坐标为（2a，0），
    由（2）知直线AM为y=3x-2，
    ∴当x=2a时，y=6a-2，
    ∴点R的坐标为（2a，6a-2），
    过点P作PN⊥RQ于点N，
    ∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
    ∴S=
    1
    2
    RQ•PN    =
    1
    2
    |6a-2|•|a|    ，
    当0＜a＜
    1
    3
    时，S=
    1
    2
    (2-6a)•a    =-3a2+a，
    当a=
    1
    3
    时，△PQR不存在；
    当
    1
    3
    ＜a≤2    时，S=
    1
    2
    (6a-2)•a    =3a2-a．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、解析式和三角形的面积求法等；在求有关动点问题时要注意分析题意、分情况讨论结果．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求直线BC的函数解析式；
    （3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
    （1）求抛物线对应的函数关系式；
    （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
    ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
    ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
    （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
    （2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）①当x的取值范围满足条件
    -2＜x＜0
    -2＜x＜0
    时，y＜-3；
         ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
    （3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
    （4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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