Question

m是何值时，不等式（m+1）x²-2（m-1）x+3（m-1）≥0（m≠-1）对于任何x都成立？

Answer 1

解：因当m≠-1时，不等式（m+1）x²-2（m-1）x+3（m-1）≥0对于任何x都成立，
即y=（m+1）x²-2（m-1）x+3（m-1）的图象在x轴上或上方，
则只要满足△≤0且m+1＞0即可，
所以4（m-1）²-4（m+1）×3（m-1）≤0，解得m≤-2或m≥1，且m+1＞0，即m≥-1．
∴m≥1．
所以当m≥1时，不等式（m+1）x²-2（m-1）x+3（m-1）≥0（m≠-1）对于任何x都成立．
分析：由m≠-1，把不等式左边看作是m的二次函数，要使二次函数值为非负数，则图象不能在x轴下方，只要满足△≤0且m+1＞0即可，解不等式组就可求出m的范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了二次函数与一元二次方程的关系．