Question

如图，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是△CMN面积的4倍，△ABC中有一个内角度数是另一内角度数的2倍，试计算△ABC三个内角的度数：

 

．

Answer 1

分析：连接BM，由圆内接四边形的性质可知，∠CNM=∠CAB=∠CAB，可证△CNM∽△CAB，又△ABC的面积是△CMN面积的4倍，可知相似比

CM

CB

=

1

2

，而AB为直径，∠BMC=90°，则∠C=60°，∠A+∠B=120°，由∠A=2∠B或∠B=2∠A，分类求解．

解答：解：如图：连接BM，由圆内接四边形的性质可知，∠CNM=∠CAB，∠CMN=∠CBA，
∴△CNM∽△CAB，又△ABC的面积是△CMN面积的4倍，可知相似比

CM

CB

=

1

2

，
AB为直径，∠BMC=90°，
则∠C=60°，∠A+∠B=120°，
由∠A=2∠B或∠B=2∠A可得△ABC三个内角的度数，
∠A=80°，∠B=40°，∠C=60°或∠A=40°，∠B=80°，∠C=60°．

点评：本题主要涉及圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，相似比与面积比的关系．