Question

如图，在梯形中，∥，，，点在对角线上，作，连接，且满足．

（1）求证：；

（2）当时，试判断四边形的形状，并说明理由．

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】证明：（1）∵， 

∴                                             （1分）

∵，

∴≌                                             （1分）

∴                                             （1分）

∵，

∴                                       （1分）

∴，

∴                                                （1分）

∴                                                   （1分）

（2）四边形是正方形                                          （1分）

∵，

∴，

∴                                                  （2分）

              ∵ 

∴∽                                             （1分）

              ∴                                       （1分）

           ∵，    

∴四边形是矩形                                          （1分）

           ∵， 

∴四边形是正方形

（1）利用互余关系证明∠BCE=∠DCF，又有BC=DC，EC=CF，可证△BCE≌△DCF，得出∠EBC=∠FDC，由已知可知△BCD为等腰直角三角形，故有∠BDC=∠EBC=∠FDC=45°，可证∠FDB=90°，证明BD⊥DF；

（2）四边形DECF是正方形．由BC2=DE•DB及BC=DC，得DC2=DE•DB，转化为比例式，利用公共角∠CDE=∠BDC，证明△CDE∽△BDC，则有∠DEC=∠DCB=90°，判断四边形DECF是矩形，结合条件CE=CF，可证四边形DECF是正方形．