Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分别为AB、AC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若BM=4，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB=2CD，E为AB的中点
∴BE=CD
∵AB∥CD，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴DE∥BC
∴△EDM∽△FBM；

（2）解：∵△EDM∽△FBM
∴=，
∵F为平行四边形EBCD的BC边的中点，
∴===2，
而BM=4，
∴DM=2BM=8，
∴BD=BM+MD=4+8=12．
分析：（1）由AB=2CD，E为AB的中点得BE=CD，而AB∥CD，根据平行四边形的判定得到四边形EBCD是平行四边形，再由平行四边形的性质得DE∥BC，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得=，而BF=BC=DE，BM=4，可计算出DM，即可得到BD的长．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边直线与其它两边（或其延长线）所截得的三角形与圆三角形相似；相似三角形的对应边比相等．也考查了平行四边形的判定与性质以及梯形的性质．