Question

10．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；
（2）设AF=CF=x，则BF=4-x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，
在△AEO和△CFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠EOA=∠FOC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=CF，
设AF=CF=x，则BF=4-x，
在Rt△ABF中，AF²=AB²+BF²，
即x²=3²+（4-x）²，
解得 x=$\frac{25}{8}$，
∴菱形AFCE的边长为$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．