Question

已知，如图（a），抛物线y=ax²+bx+c经过点A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，-2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，|x₁-x₂|=8．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连结AD、BD，在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（b），点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH•AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）圆的半径r====4．
如答图1，连接ME，∵NE是切线，∴ME⊥NE．

在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，
∴∠EMN=60°，MN=8，
∴OM=2，
∴OA=2，OB=6．
∴点A、B的坐标分别为（-2，0）、（6，0）．
∵抛物线过A、B两点，所以可设抛物线解析式为：y=a（x+2）（x-6），
又∵抛物线经过点C（0，-2），∴-2=a（0+2）（0-6），解得a=．
∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x-6）=x²-x-2．
∵y=x²-x-2=（x-2）²-，
∴顶点D的坐标为（2，-）．

（2）如答图2，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA．

若在抛物线对称轴的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似，
必须有∠BAP=∠BPA=∠BAD．
设AP交抛物线的对称轴于D′点，
显然，
∴直线AP的解析式为，
由，得x₁=-2（舍去），x₂=10．
∴P（10，8）．
过P作PG⊥x轴，垂足为G，在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∵
∴PB≠AB．∴∠BAP≠∠BPA．．
∴△PAB与△BAD不相似，…
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得与△PAB与相似．…

（3）如答图3，连结AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂径定理易知：弧AE=弧AF．
∴∠AQF=∠AFH，
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH，∴，∴AH•AQ=AF²…
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²=2²+（2）²=16（或利用AF²=AO•AB=2×8=16）
∴AH•AQ=16
即：AH•AQ为定值． …
分析：（1）由已知条件求出圆的半径r，在Rt△MNE中，利用切线的性质，求出MN的长度，从而求出点A、点B的坐标；然后利用交点式求出抛物线的解析式，并进而确定顶点D坐标；
（2）点P可能在抛物线左侧或右侧，需要分类讨论．如答图2，利用反证法证明点P不存在；
（3）证明△AQF∽△AFH，可得AH•AQ=AF²；根据垂径定理及勾股定理，可得AF为定值，故AH•AQ为定值．
点评：本题为二次函数与圆的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、切线的性质、垂径定理、相似三角形、勾股定理等重要知识点．第（2）问为存在型问题，注意解题过程中反证法与分类讨论思想的应用．