Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长与BC相交于点E．
（1）若BC=

3

，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线；
（3）过D点作DG⊥BC于G，DG与OE相交于点M，求证：DM=GM．

Answer 1

分析：本题从切线BC着手，在直角三角形中得到半径，再从切线的判定出发，

解答：（1）解：∵BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC
∴BC²+OB²=OC²
由题意得
(

3

)2+r2=(1+r)2
即r=1．

（2）证明：连接OF，可得OF为△ABE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠BOF=∠A，∠COF=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
∴∠BOF=∠COF，
∵OD=OB，OF=OF．
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即FD是⊙O的切线．

（3）证明：∵DG∥AB
∴

DM

AO

=

EM

EO

=

MG

OB

，AO=BO
∴DM=GM．

点评：本题考查了切线的判定以及其性质，从切线性质得到关系式求得圆半径，从全等求得∠ODF=∠OBF=90°而得到（2），从DG∥AB三角形中的关系式而求得（3）．