Question

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=120°，AM、BN分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，证明：AB+AN=AM+BM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设AM，BN的交点为E，在MC上取MF=ME，根据角平分线定义求出∠1=∠2=20°；∠3=∠4=60°；∠7=∠8，推出∠5=∠AEN求出AE=AN，求出∠8=∠1，根据AAS推出△ABE≌△FBE，推出AB=BF即可．

解答：证明：设AM，BN的交点为E，在MC上取MF=ME，
∵∠BAC=40°，∠ABC=120°AM，BN分别为∠BAC，∠ABC的角平分线
∴∠1=∠2=20°；∠3=∠4=60°；∠7=∠8
∴∠5=180°-∠BAC-∠3=80°=∠AEN
∴AE=AN
∠6=180°-∠1-∠ABC=40°=2∠8
∴∠8=20°=∠1，
在△ABE和△FBE中，

∠3=∠4 ∠1=∠8 BE=BE

，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AB=BF=BM+MF=BM+EM，
∴AB+AN=BM+EM+AE=AM+BM．

点评：本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，题目比较好，难度偏大．