Question

如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm ，形如三角板的△ABC中，∠ACB = 90^。 ，∠ABC=30^。，BC=12cm ，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动的时间为t（s），当t=0时，半圆 O在△ABC的左侧，OC=8cm 。
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

Answer 1

(1)①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2cm，所求运动时间为t==1（s）

②如图2，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F，在Rt△FOB中，∠FBO=30^。，OB=12cm，则OF=6cm，即OF等于半圆O所在圆的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t==4（s）

③如图3，当点O运动到BC的中点时，ACOD，OC=OD=6cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14cm，所求运动时间为t==7（s）

④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作QO⊥直线AB，垂足为Q，在，∠OBQ=30^。，则OQ=6cm， 即QO等于半圆O所在圆的半径，所以直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32cm，所求运动时间为t==16（s）。

因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①③两种情形，与AB所在的直线相切只有上述②④两种情形，与BC所在的直线始终相交，所以，只有t为1s，4s，7s，16s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切；
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2，与图3所示的两种情形。
①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：S_扇形EOM=×6²=9（cm²）
②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点P到点H的距离PH=BH，在Rt△OBH中， ∠OBH=30^。，OB=6cm，则OH=3cm，BH=3 cm，BP=6 cm，
S_△POB=(cm²)，又因为∠DOP=2∠DBP=60^。，
所以S_扇形ODP=(cm²)。
所求重叠部分面积为：S_△POB + S_扇形ODP =cm²