Question

在数学的学习过程中，我们经常用以下的探索过程解决相关问题．
数学问题：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这（n+3）个点为顶点画三角形，那么可以剪得多少个这样的三角形？
探索规律：为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．

三角形内点的个数	图形	最多剪出的小三解形个数
1		3
2		5
3		7
4
…	…	…

（1）填表：当三角形内有4个点时，把表格补充完整；
（2）你发现的变化规律是：

 

；
（3）猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得

 

个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
问题解决：请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）根据题意画出图形，进而得出答案；
（2）利用表格中数据得出三角形个数的变化规律即可；
（3）利用（2）中变化规律得出当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得三角形的个数，进而利用补项法求出答案．

解答：解：（1）当三角形内有4个点时，把表格补充完整如下：

三角形内点的个数	图形	最多剪出的小三解形个数
1		3
2		5
3		7
4		9
…	…	…

（2）∵当三角形内点的个数为1时，最多可以剪得3个三角形；
当三角形内点的个数为2时，最多可以剪得5个三角形；
当三角形内点的个数为3时，最多可以剪得7个三角形；
当三角形内点的个数为4时，最多可以剪得9个三角形；
∴变化规律是：剪出的三角形个数是连续的奇数；
故答案为：剪出的三角形个数是连续的奇数；

（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，
∴当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得 2n+1个三角形；
1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）
=

1

2

[1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）][（2n+1）+（2n-1）+…+7+5+3+1]
=

1

2

（n+1）（1+2n+1）
=（n+1）²
=n²+2n+1．

点评：此题主要考查了图形变化类，根据题意得出图形中三角形个数变化规律是解题关键．