Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C．且∠ACB=90°．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²，
∴OB=，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得 ，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，∴D（1，-3）．
解方程组，
得 ．
∴E（6，7）．
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）．
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）．
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
∵90°＜∠EBA＜135°，
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则 ，
∴BP₁===，
∴OP₁=4-=，
∴P₁（ ，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则 ，
∴BP₂===，
∴OP₂=-4=，
∴P₂（-，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（ ，0）或P₂（-，0）．
分析：（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•AB，可求出OB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出∠FAB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论：
①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．
可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．
点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及综合应用知识、解决问题的能力．本题是一道应用能力较强的题，比较好．