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    （2011•香坊区模拟）已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D，点F在BD上，连接CF，AM⊥CF于点M，AM交CD于点E．
    （1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=DF；
    （2）如图2，当∠ACB=60°时，DE与DF的数量关系是
    DF=
    		3
    DE
    DF=
    		3
    DE

    （3）在2的条件若tan∠EAF=
    		3
    4
    ，EM=
    9
    		19
    19
    ，连接EF，将∠DEF绕点E逆时针旋转，旋转后角的两边交线段CF于N、G两点，交线段BC于P、T两点（如图3），若CN=3FN，求线段GT的长．
    分析：（1）此题需先根据已知条件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根据AAS证出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
    （2）根据∠ACB=60°，得出△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB=30°，
    CD
    AD
    =Ctan30°=
    		3
    ，再根据△ADE∽△CDF，得出
    DF
    DE
    =
    CD
    AD
    的值，即可得出DE与DF的数量关系；
    （3根据已知条件得出EC的值，再设DE=
    		3
    x，则AD=4x，CD=4
    		3
    x，CE=3
    		3
    x，求出x的值，根据
    CN
    CF
    =
    CE
    CD
    =
    3
    4
    ，得出EP∥AB，从而证出△EPT为等边三角形，求出EG的值，从而得出EP=ET=3，即可求出线段GT的长．
    解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
    ∴∠BAC=45°，
    ∵CD⊥AB，
    ∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
    ∴AD=CD，
    ∵AM⊥CF，
    ∴∠DFC+∠FAM=90°，
    ∴∠DCF=∠FAM，
    ∴△ADE≌△CDF，
    ∴DE=DF；

    （2）∵∠ACB=60°，
    ∴△ABC是等边三角形，
    ∴∠ACB=30°，
    ∴
    CD
    AD
    =Ctan30°=
    		3
    ，
    ∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
    ∴△ADE∽△CDF，
    ∴
    DF
    DE
    =
    CD
    AD
    =
    		3
    ，
    ∴DF=
    		3
    DE；

    （3）∵tan∠EAF=tan∠ECM=
    		3
    4
    ，EM=
    9
    		19
    19
    ，
    ∴EC=3
    		3
    ，
    设DE=
    		3
    x，则AD=4x，CD=4
    		3
    x，CE=3
    		3
    x，
    ∴x=1，
    ∴AD=4，DE=
    		3
    ，AE=
    		19
    ，AB=8，
    ∵
    CN
    CF
    =
    CE
    CD
    =
    3
    4
    ，
    ∴EP∥AB，
    ∵DF=
    		3
    DE，
    ∴∠PET=60°，
    ∴△EPT为等边三角形，
    ∴EG∥AC，
    ∴
    EG
    AC
    =
    ME
    MA
    ，
    ∴EG=
    18
    7
    ，
    ∴
    EP
    BD
    =
    CE
    CD
    =
    3
    4
    ，
    ∴EP=ET=3，
    ∴GT=ET-GT=
    3
    7
    ；
    点评：此题考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数值，平行线分线段成比例等知识点；是一道综合题，解题时要注意有关知识的综合应用．
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    1.37×109
    1.37×109
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