Question

（2012•松北区三模）已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，CD是∠ACB的平分线，点M在线段AC上，点N在线段CD上．∠MND=∠ADN，NE∥BC，交BD于点E．
（1）（如图1）当点M和点A重合时，求证：AN=BE；
（2）（如图2）当MN：AD=2：3时，MC=NE，AM=2，延长MN交BC于点F，将线段BF以F为中心顺时针旋转，点B落在点P处，求出P点到BC的距离．

Answer 1

分析：（1）图1，作NH∥AB交BC于点H，由条件就可以得出四边形BHNE是平行四边形，再证明△ACN≌△HCN就可以得出结论；
（2）图2，作NH∥AB交BC于H，作MG∥AB交CD于G，作PQ⊥BC于Q，连接PM．可以得出四边形BHNE是平行四边形，就有HN=BE，再根据平行线的性质可以得出△CMG∽△CAD，由其性质可以得出CM的值，根据△MCN≌△END就有CN=DN，由中位线的性质可以得出BC的值，进一步证明△ABC∽△FMC就可以得出CF的值从而求出NF=PF，进而得出AP=AM，最后由平行线的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）作NH∥AB交BC于点H，
∵NE∥BC，
∴四边形BHNE是平行四边形，
∴BE=NH．
∵NH∥AB，
∴∠DNH=∠ADN．
∵∠MND=∠ADN，
∴∠DNH=∠ADN．
∵∠DNH+∠HNC=180°，
∠ADN+∠ANC=180°，
∴∠HNC=∠ANC．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠HCN=∠ACN．
在△HNC和△ANC中，

∠HCN=∠ACN CN=CN ∠HNC=∠ANC

，
∴△HNC≌△ANC（ASA），
∴HN=AN，
∴AN=BE；

（2）作NH∥AB交BC于H，作MG∥AB交CD于G，作PQ⊥BC于Q，连接PM．
∵EN∥BC，NH∥AB，
∴四边形BHNE是平行四边形，
∴HN=BE，
∵MG∥AB，
∴△CMG∽△CAD，∠MGN=∠ADN，
∴

MG

AD

=

CM

AC

．
∵∠MND=∠ADN，
∴∠MGN=∠MNG，
∴GM=NM．
∵MN：AD=2：3，
∴GM：AD=2：3．
∵AM=2，
∴AC=2+CM，
∴

2

3

=

CM

2+CM

，
∴CM=4．
∴AC=6．
∵EN∥BC，
∴∠END=∠BCD，∠DEN=∠B
∵∠MND=∠ADN，
∴∠MNC=∠EDN．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD．
∴∠ACD=∠END．
在△MCN和△END中，

∠ACD=∠END ∠MNC=∠EDN MC=EN

，
∴△MCN≌△END（AAS）
∴CN=ND，∠CMN=∠NED．
∴N是CD的中点，∠CMN=∠B
∴BC=2EN．
∵MC=EN=4，
∴BC=8．
在△ABC和△FMC中，

∠CMN=∠B ∠ACB=∠ACB

，
∴△ABC∽△FMC，
∴

AC

BC

=

FC

MC

，
∴

6

8

=

FC

4

，
∴FC=3．
∴BF=PF=5．
∴∠B=∠BPF，
∴∠BPF=∠FMC．
在Rt△MFC和Rt△ABC中，由勾股定理，得
MF=5．AB=10，
∴PF=MF，
∴∠FPM=∠FMP．
∴∠APM=∠AMP，
∴AP=AM=2．
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠PQB=∠ACB，
∴PQ∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

，
∴

PQ

6

=

8

10

，
∴PQ=4.8．
答：P点到BC的距离为4.8．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质的运用及三角形中位线的性质的运用，解答时正确作出辅助线是关键．