Question

如图，已知AB是⊙O的直径，且AB为6，过B点作⊙O的切线CB与⊙O相切于点B，在半圆AB上有一点D使∠ABD=30°，BD的中点为E，连接OE并延长OE与BC交于点C，连接CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）四边形ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据OB=OD，E是BD的中点可知OC是线段BD的垂直平分线，再根据全等三角形的判定定理可判定出△OBC≌△ODC，再由BC是⊙O的切线可得出∠OBC=90°，由全等三角形的性质可得出∠ODC=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）先根据BC是⊙O的垂线及∠ABD的度数可求出∠DBC的度数，再由BC=CD可知△BDC是等边三角形，故BC=BD=CD，再由直角三角形的性质可得出AD、BD的长，进而可求出答案．

解答：（1）证明：连接OD，
∵OE是BD的中点且BO=DO，
∴OE⊥BD，
∴CE⊥BD，
∵BE=DE，
∴BC=DC，
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°，
∵BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=BD=CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，AB=6，
∴AD=

1

2

AB=

1

2

×=3，BD=

AB2-AD2

=

62-32

=3

3

，
∴四边形ABCD的周长为：3

3

+3

3

+3+6=9+6

3

．

点评：本题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理及线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，涉及面较广，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．