Question

20．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）如图2，当CG=EG时，求$\frac{AC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知DE是△ABC的中位线，从而可知EG∥AB，又点F为线段AD的中点，所以AF=DF，然后证明△ABF≌△DGF即可求证AB=GD．
（2）由条件可知DE=$\frac{1}{2}$AB，EG=$\frac{3}{2}$AB，然后利用DE∥AB，证明△GEC∽△CBA，从而求出$\frac{AC}{AB}$的值．

解答 解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，即EG∥AB，
∴∠FDG=∠A，
∵点F为线段AD的中点，
∴AF=DF，
在△ABF与△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDG}\\{AF=DF}\\{∠AFB=∠DFG}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DGF（ASA）
∴AB=GD

（2）∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC
∵DG=AB，
∴EG=DE+DG
∴EG=$\frac{3}{2}$AB
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∵AC=BC，CG=EG
∴△GEC∽△CBA
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CG}{AC}=\frac{EG}{AC}$，
即$\frac{\frac{1}{2}AC}{AB}=\frac{\frac{3}{2}AB}{AC}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$

点评 本题考查相似三角形的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判断，中位线的性质，综合程度较高，属于中等题型．