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    如图，在?ABCD中，BD为对角线，EF垂直平分BD分别交AD、BC的于点E、F，交BD于点O．

    （1）试说明：BF=DE；
    （2）试说明：△ABE≌△CDF；
    （3）如果在?ABCD中，AB=5，AD=10，有两动点P、Q分别从B、D两点同时出发，沿△BAE和△DFC各边运动一周，即点P自B→A→E→B停止，点Q自D→F→C→D停止，点P运动的路程是m，点Q运动的路程是n，当四边形BPDQ是平行四边形时，求m与n满足的数量关系．（画出示意图）
    分析：（1）根据ASA证△EOD≌△FOB即可；
    （2）推出DE=BF，根据平行四边形性质求出∠A=∠C，推出AE=CF，根据SAS证△ABE≌△CDF即可；
    （3）分为三种情况，求出△DFC的周长，每种情况m+n都等于△DFC的周长．
    解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠EDO=∠FBO，
    ∵EF垂直平分BD，
    ∴OB=OD，
    在△EOD和△FOB中，
    ∵
    ∠EOD=∠FOB
    OD=OB
    ∠EDO=∠FBO
    ，
    ∴△EOD≌△FOB（ASA），
    ∴BF=DE；

    （2）证明：∵△EOD≌△FOB，
    ∴DE=BF，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，
    ∴AD-DE=BC-BF，
    ∴AE=CF，
    在△ABE和△CDF中，
    ∵
    AB=CD
    ∠A=∠C
    AE=CF
    　
    ∴△ABE≌△CDF（SAS）；

    （3）解：∵EF垂直平分BD，
    ∴BF=DF，
    ∵△ABE≌△CDF，
    ∴DF=BE，AE=CF，
    ∴△DFC的周长是DF+CF+CD=BF+CF+CD=BC+CD=15，
    △ABE的周长也是15，
    ①当P在AB上，Q在CD上，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠BPO=∠DQO，
    ∵∠POB=∠DOQ，OB=OD，
    ∴△BPO≌△DQO，
    ∴BP=DQ，
    ∴m+n
    =BP+DF+CF+CQ
    =DF+CF+CQ+DQ
    =DF+CF+CD
    =15    　　　    
     ②当P在AE上，Q在CF上，
    ∵AD∥BC，
    ∴∠PEO=∠QFO，
    ∵△EOD≌△FOB，
    ∴OE=OF，
    ∵∠PEO=∠QFO，∠EOP=∠FOQ，
    ∴△PEO≌△QFO，
    ∴PE=QF，
    ∵AE=CF，
    ∴CQ=AP，
    m+n
    =AB+AP+DF+PQ
    =CD+CQ+DF+FQ
    =DF+CF+CD
    =15；
    ③当P在BE上，Q在DF上，
    ∵AD=BC，AE=CF，
    ∴DE=BF，
    ∵DE∥BF，
    ∴四边形BEDF是平行四边形，
    ∴BE=DF，BE∥DF，
    ∴∠PEO=∠FQO，
    ∵∠EOP=∠FOQ，OE=OF，
    ∴△PEO≌△FQO，
    ∴PE=FQ，
    ∴m+n
    =AB+AE+PE+DQ
    =CD+CF+QF+DQ
    =DF+CF+CD
    =15．
    点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．
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