Question

存在这样的有理数a，b，c满足a＜b＜c，使得分式

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

的值等于（　　）

• A、-2003
• B、0
• C、2003
• D、-

  2003

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：探究型

分析：先根据a，b，c为有理数，且满足a＜b＜c设a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，则x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，故可得出（x+y+x）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，即xy+yz+zx=-

1

2

（x²+y²+z²）＜0且为有理数，根据xyz＞0，可知

1

x

+

1

y

+

1

z

=

yz+xz+xy

xyz

=

x2+y2+z2

2xyz

＜0且为有理数，故可得出结论．

解答：解：∵a，b，c为有理数，且满足a＜b＜c，
∴设a-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0，
则x+y+z=a-b+b-c+c-a=0，
∴（x+y+x）²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=0，
∴xy+yz+zx=-

1

2

（x²+y²+z²）＜0且为有理数，
∵xyz＞0，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=

yz+xz+xy

xyz

=

x2+y2+z2

2xyz

＜0且为有理数．
故选A．

点评：本题考查的是分式的化简求值，先根据题意设出-b=x＜0，b-c=y＜0，c-a=z＞0是解答此题的关键．