Question

（2002•南京）已知抛物线y=a（x-t-1）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x²-2x+1的顶点是B．
（1）判断点A是否在抛物线y=x²-2x+1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x-t-1）²+t²经过点B，
①求a的值；
②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可将A点的坐标代入抛物线y=x²-2x+1中，即可判断出A点是否在这条抛物线上．
（2）①先根据抛物线y=x²-2x+1得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线y=a（x-t-1）²+t²中即可求出a的值．
②可先根据①得出的抛物线的解析式来求出抛物线与x轴两交点的坐标，然后求出这两点之间和这两点与A之间的线段的长度，由于A在这两交点的垂直平分线上，因此只有一种情况，即A为此等腰三角形的直角顶点，因此可根据勾股定理求出t的值．
解答：解：（1）由题意可知：A点的坐标为（t+1，t²），将A点的坐标代入抛物线y=x²-2x+1中可得：（t+1）²-2（t+1）+1=t²+2t+1-2t-2+1=t²；
因此A点在抛物线y=x²-2x+1上．

（2）①由题意可知：B点坐标为（1，0）．则有：
0=a（1-t-1）²+t²，即at²+t²=0，因此a=-1．
②根据①可知：抛物线的解析式为y=-（x-t-1）²+t²；
当y=0时，-（x-t-1）²+t²=0，解得x=1或x=2t+1
设抛物线与x轴的交点为M，N，那么M点的坐标为（1，0），N点的坐标为（2t+1，0）
因此：AM²=t²+t⁴，AN²=t²+t⁴，MN²=4t²
当△AMN是直角三角形时，AM²+AN²=MN²
即（t²+t⁴）×2=4t²
解得t=1或t=-1
因此能构成直角三角形，此时t的值为1或-1．
点评：本题主要考查了二次函数的性质，函数图象交点的求法以及直角三角形的判定等知识点．