如图.在?ABCD中.BE⊥CD.BF⊥AD.垂足分别是点E.F．求证:B.E.D.F四点都在同一个圆上．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．

如图，在?ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别是点E，F．求证：B，E，D，F四点都在同一个圆上．

分析欲证明B，E，D，F四点都在同一个圆上，只要找到一个点O，证明OD=OF=OB=0E即可，这个点就是BC中点O．

解答证明：如图，连接BD取BD的中点O，连接OE、OF．
∵BE⊥CD，BF⊥AD，
∴∠DEB=∠BFD=90°，
∵DO=OB，
∴OE=OD=OB，OF=OD=0B，
∴OD=OF=OB=OE，
∴B，E，D，F四点都在同一个圆上．

点评本题考查圆、平行四边形、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是选取BD中点O，利用直角三角形斜边中线性质解决问题，属于中考常考题型．

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科目：初中数学 来源： 题型：解答题

8．【特例发现】如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
【延伸拓展】如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【深入探究】如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你的结论．
【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡的备用图中补全作图）．