Question

四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80度．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．

Answer 1

解：（1）因为∠A+∠B+∠C+∠D=360，∠B=∠C，
所以∠B=∠C=．

（2）∵BE∥AD，
∴∠BEC=∠D=80°，
∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°．
或解：∵BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=80°，
∴∠C=360°-∠ABC-∠A-∠D=60°．

（3）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°．
∵∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，
∴∠E=180-∠EBC-∠BCE=180°-（∠ABC+∠BCD）=180°-×140°=110°．
分析：（1）根据四边形的内角和是360°，结合已知条件就可求解；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线的定义得到∠ABC的度数，进一步根据四边形的内角和定理进行求解；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得∠EBC+∠ECB的度数，再进一步求得∠BEC的度数．
点评：本题解决的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义．