Question

16．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们垂直的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁•k₂=-1，我们就称直线l₁与直线l₂互相垂直．
解答下面的问题：
（1）求过点P（4，1）且与已知直线y=-2x-1垂直的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
（2）设（1）中的直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＜0）与直线l垂直且交x轴于点C，求△ABC的面积S关于t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）直线l与已知直线y=-2x-1平行，因而直线的一次项系数是$\frac{1}{2}$，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点A、B的坐标可以求出，根据三角形的面积就可以求出C点的坐标．

解答 解：（1）设直线l的函数表达式为y=kx+b，
∵直线l与直线y=-2x-1垂直，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∵直线l过点（4，1），
∴$\frac{1}{2}$×4+b=1，
∴b=-1．
∴直线l的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x-1．
直线l的图象如图；

（2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，
∴点A、B的坐标分别为（0，-1）、（2，0）．
∵l⊥m，
∴直线m为y=-2x+t．令y=0，解得x=$\frac{t}{2}$，
∴C点的坐标为（$\frac{t}{2}$，0）．
∵t＜0，
∴$\frac{t}{2}$＜0．
∴C点在x轴的负半轴上．
∴S=$\frac{1}{2}$×（2-$\frac{t}{2}$）×1=1-$\frac{t}{4}$；
△ABC的面积S关于t的函数表达式为S=1-$\frac{t}{4}$．

点评 本题主要考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的求出函数解析式是解题的关键，．