Question

如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点B在原点上，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标．
（3）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）画出图形，
设QC=z，由Rt△ABP∽Rt△PCQ，=，
z=，①
y=×4×（4-z），②
把①代入②y=x²-2x+8（0＜x＜4）．
（2）y=x²-2x+8=（x-2）²+6，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，6）．

（3）如图所示；
存在，由S_△APB=S_△ADQ，可得y=3x，
∴x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴当P为BC的中点（2，0）时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的 ．
分析：（1）Rt△ADQ中，已知了直角边AD的长，欲求其面积，需求得直角边DQ的长；已知∠APQ=90°，显然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的长，根据相似三角形所得比例线段，即可求得CQ的表达式，可得到DQ的表达式，从而根据直角三角形的面积公式求出y、x的函数关系式．
（2）由（1）可知，y、x的函数关系式是个二次函数，用配方法将其解析式化为顶点坐标式，即可求得抛物线的顶点坐标和对称轴方程．
（3）可根据（1）所得抛物线的解析式，通过描点、连线画出此抛物线的图象．由于BP=x，易知△ABP的面积为2x，根据△ABP和△ADQ的面积关系，可得到关于x的方程，通过解方程可求得x的值即BP的长（注意x的值应符合自变量的取值范围），从而确定出点P在线段BC上的位置．
点评：本题考查的是几何与代数的综合应用，同时也是一道探索性问题．在实际问题中，自变量的取值应结合实际意义确定．