Question

Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，过C作CP⊥AB，垂足为P，一直角顶点与P重合，两边分别交AC，BC于F，E．
（1）PF，PE有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）若图中“AC=BC”改为“AC≠BC”，其他条件不变，则PF、PE的数量关系怎样？与AC，BC两边的长有何关系？为什么？若AC：BC=2：1，则PF、PE的数量关系怎样？

Answer 1

解：（1）PF=PE．
证明：直角三角形ABC中，CP⊥AB，
因此∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°，
∴∠ACP=∠B．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
三角形PCF和PBE中，
∴△PCF≌△PBE．
∴PF=PE．

（2）直角三角形ABC中，CP⊥AB，
∴∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°．
∴∠ACP=∠B．
∵∠APC=∠BPC=90°，
∴△PCA∽△PBC．
∴AC：BC=PC：PB．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
∵∠ACP=∠B，
∴△PCF∽△PBE．
∴PC：PB=PF：PE．
∴PF：PE=AC：AB．
当AC：BC=2：1时，PF=2PE．
分析：（1）应该是相等的关系，可通过证明△PCF≌△PBE来求得；
（2）根据已知及相似三角形的判定方法得到△PCA∽△PBC，△PCF∽△PBE，再根据相似三角形的边对应成比例即可求得PF、PE的数量关系．
点评：本题考查了全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识点，本题中通过全等或相似三角形来得出线段相等或成比例是解题的关键．