Question

已知首项系数不相等的两个二次方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0及（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 （a、b是正整数）有一个公共根，求的值．

Answer 1

解：由方程（a-1）x²-（a²+2）x+（a²+2a）=0得，[（a-1）x-（a+2）]（x-a）=0
∴x₁=，x₂=a；
同理可由方程（b-1）x²-（b²+2）x+（b²+2b）=0 解得x₁=，x₂=b；
∵a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根．
∴=b，则b=1+，所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2．
（若有a=也是同样的结果）
当a=2，b=4，==2080．
（把a=4，b=2代入计算的结果一样）
所以的值为2080．
分析：先利用因式分解法求出两个方程的解．x₁=，x₂=a；x₁=，x₂=b；然后根据a、b是不相等的正整数和两个方程有一个公共根，只能有=b，再通过整除性求出a，b的值，最后代入所求代数式计算即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了因式分解法解一元二次方程、整数的整除性质和整数幂的意义．