Question

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，将梯形折叠使点C与点A重合，则折痕DE恰好过BC边中点E，如图1，点F为折痕DE上任意一点（不与点D、E重合），过点F作DE的垂线，交BD于点G．

（1）试探求线段GF、FE与GA之间的数量关系，并证明；
（2）将△DFG绕点D顺时针旋转，当点G、F、E在一条直线上时，如图2，试探求线段GF、FE与GA之间的数量关系是否发生变化，请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）根据梯形折叠使点C与点A重合，得出BE=CE=AE，再证明∠ADE=∠DEC=∠AED，从而得出△ABE、△ADE、△CDE是正三角形，BD⊥AE，最后连接GE，根据△AEG中，EG²=FG²+EF²，即可证出AG²=FG²+EF²；
（2）当点G、F、E在一条直线上时，画出图形，根据△AEG为Rt△，有AG²=GF×GE=GF（GF+EF），再把结果整理即可．

解答：解：（1）∵梯形折叠使点C与点A重合，则折痕DE恰好过BC边中点E，
∴BE=CE=AE，
∴∠ADE=∠DEC=∠AED，
∴BE=CE=AE=AB=AD=CD，
∴△ABE、△ADE、△CDE是正三角形，
∴BD⊥AE，
连接GE，则AG=GE，
在△AEG中，
EG²=FG²+EF²，
即AG²=FG²+EF²；

（2）发生变化，
当点G、F、E在一条直线上时，
∵∠FDG=30°，
∴只能是图示位置，E、F、G才能在一直线上，
此时△AEG为Rt△，有AG²=GF×GE=GF（GF+EF）=GF²+GF×EF．

点评：此题考查了几何变换综合题的应用，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，得出对应边和对应角相等．