Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若OB=2，OP=

7

2

，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA；
（2）根据△ABC∽△POA，和已知边的长可将BC的长求出．

解答：（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA
∴

BC

OA

=

AB

PO

∵OB=2，PO=

7

2

∴OA=2，AB=4
∴

BC

2

=

4

7 2

∴

7

2

BC=8
∴BC=

16

7

．

点评：本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质等知识，综合性比较强．