Question

18、把下列各式分解因式：
（1）x⁴-7x²+1；
（2）x⁴+x²+2ax+1-a²
（3）（1+y）²-2x²（1-y²）+x⁴（1-y）²
（4）x⁴+2x³+3x²+2x+1

Answer 1

分析：（1）首先把-7x²变为+2x²-9x²，然后多项式变为x⁴-2x²+1-9x²，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；
（2）首先把多项式变为x⁴+2x²+1-x²+2ax-a²，然后利用公式法分解因式即可求解；
（3）首先把-2x²（1-y²）变为-2x²（1-y）（1-y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；
（4）首先把多项式变为x⁴+x³+x²++x³+x²+x+x²+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．

解答：解：（1）x⁴-7x²+1
=x⁴+2x²+1-9x²
=（x²+1）²-（3x）²
=（x²+3x+1）（x²-3x+1）；

（2）x⁴+x²+2ax+1-a²
=x⁴+2x²+1-x²+2ax-a²
=（x²+1）-（x-a）²
=（x²+1+x-a）（x²+1-x+a）；

（3）（1+y）²-2x²（1-y²）+x⁴（1-y）²
=（1+y）²-2x²（1-y）（1+y）+x⁴（1-y）²
=（1+y）²-2x²（1-y）（1+y）+[x²（1-y）]²
=[（1+y）-x²（1-y）]²
=（1+y-x²+x²y）²

（4）x⁴+2x³+3x²+2x+1
=x⁴+x³+x²++x³+x²+x+x²+x+1
=x²（x²+x+1）+x（x²+x+1）+x²+x+1
=（x²+x+1）²．

点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题关键是根据所给多项式，有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．