Question

已知AB=AC=6，BC=9，点P、D分别在边BC、AC上，BP=4，∠APD=∠B．
（1）求CD的长；
（2）求证：PD∥AB．

Answer 1

（1）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=∠B，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵BC=9，BP=4，
∴PC=9-4=5，
∵AB=6，BP=4，BC=9，
∴，
∴CD=；

（2）证明：∵CD=，AC=6，PC=5，BC=9，
∴，
∵∠C是公共角，
∴△PCD∽△BCA，
∴∠DPC=∠B，
∴PD∥AB．
分析：（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，又由∠APD=∠B．利用三角形外角的性质，可得∠BAP=∠APD，继而可证得△ABP∽△PCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长；
（2）易求得，则可证得△PCD∽△BCA，即可得∠DPC=∠B，则可判定PD∥AB．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．