Question

15．探究应用：
（1）完成填空：
?①（x-1）（x+1）=x²-1
?②（x-1）（x²+x+1）=x³-1
?③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（2）拓展应用：
①试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值
②直接判断：2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1的值的个位数字是7．

Answer 1

分析 （1）依据多项式乘多项式进行计算，然后合并同类项即可；
（2）依据（1）中的计算找出其中的规律，最后，依据规律进行计算即可；
（3）依据（1）中的计算规律得到原式=2²⁰¹⁵-1，然后找出2的正整数次幂的个位数的规律，最后依据规律解答即可．

解答 解：（1）②（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1；
④（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x-x⁴-x³-x²-x-1=x⁵-1；
（2）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1）=2⁷-1=127
（3）2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1=（2-1）（2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+2²⁰¹²+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁵-1．
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，
∴2²⁰¹⁵的个位数为8，
∴2²⁰¹⁵-1的个位数为7．

点评 本题主要考查的是多项式乘多项式找出其中的规律是解题的关键．