Question

如图，在正方形ABCD中，M为AB边上一点，BP⊥MC于P，N为BC边上一点，问BM与BN存在什么关系时，PD⊥PN？

Answer 1

分析：如果PD⊥PN，又有BP⊥MC，不难证出△PBN∽△PCD，可得出

BN

BP

=

CD

PC

；而在Rt△BCM，通过相似三角形△BPM和△PCB，可得出

BM

BP

=

BC

PC

；联立两个比例关系式，即可得出所证的结论．

解答：解：∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
又∵∠PCB+∠PCD=90°，
∴∠PBC=∠PCD．
∵PD⊥PN，
∴∠DPN=90°．
∵∠BPC=∠BPN+∠CPN=90°，∠DPN=∠DPC+∠CPN=90°，
∴∠BPN=∠DPC．
∴△PBN∽△PCD（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴

BN

BP

=

CD

PC

．
又∵BP⊥MC，
∴△PBM∽△PCB，
∴

BM

BP

=

BC

PC

．
∵BC=CD，
∴

BN

BP

=

BM

BP

．
∴BN=BM．

点评：本题考查相似三角形的判定及性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．