Question

四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．

Answer 1

解：（1）如图2，点P即为所画点．…（答案不唯一）
（2）如图3，点P即为所作点．…（答案不唯一．）


（3）证明：连接DB，
在△DCF与△BCE中，，
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC
∴点P是四边形ABCD的准等距点．
分析：（1）根据菱形的性质，在菱形对角线上找出除中心外的任意一点即可；
（2）作对角线BD的垂直平分线于与另一对角线AC相交于点P，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P即为所求的准等距点；
（3）连接BD，先利用“角角边”证明△DCF和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CB，再根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠CBD，从而得到∠PDB=∠PBD，然后根据等角对等边的性质可得PD=PB，根据准等距点的定义即可得证．
点评：本题考查了复杂作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，全等三角形的判定与性质，读懂题意，理解准等距点的定义是解题的关键．