Question

如图，正方形ABCD的边长为4cm，直角三角尺的一条直角边始终经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一条直角边与BC相交于点Q。设AE的长为xcm，BQ的长为ycm。    
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；    
（2）E点滑动到何处，BQ最长？最长是多少？    
（3）在（2）的情况下，猜想：以DO为直径的⊙O与AB的位置关系，并说明你的猜想。

Answer 1

解：（1）∵ ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC =90°     
∵∠DEQ =90°∴∠AED+ ∠QEB =90°
∵∠ADE + ∠AED =90°  ∴ ∠ADE = ∠BEQ
 ∴△ADE ∽ △BEQ   
∴    即
（2）y= -(x²-4x)= -(x-2)²+1
∵a= -<0，∴函数有最大值，当x =2时，y最大值=1
∴当AE=2（BE =2或E是AB中点）时，BQ有最大值，最大值是1
（3）⊙O与AB相切

证明：连结DQ、QE（如图2）
∵ DQ为⊙O直径，∠DEQ =90°
∴OE=DQ   ∵E为AB中点
∴OE为梯形ABQD的中位线
∴OE//AD   ∴AD ⊥ AB  ∴OE⊥AB 
∴⊙O与AB相切