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    （2006•静安区二模）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E
    （1）求证：△AOB∽△BDC；
    （2）设大圆的半径为x，CD的长y，yx之间的函数解析式，并写出定义域．
    （3）△BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．
    分析：（1）由大⊙O与CD相切于点C，根据切线的性质，可得∠DCO=90°，又由BC⊥AB，OB=OC，根据等边对等角与等角的余角相等，可得∠BCD=∠ABO，又由小⊙O与AB相切于点A，可得∠CBD=∠BAO=90°，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定△AOB∽△BDC；
    （2）首先过点O作OH⊥BC，垂足为H．易得四边形OABH是矩形，由勾股定理可得AB=
    		x2-1
    ，又由△AOB∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x之间的函数解析式；
    （3）分别从EB=EC，CE=CB，BC=BE去分析求解，即可求得答案．
    解答：（1）证明：∵大⊙O与CD相切于点C，
    ∴∠DCO=90°．
    ∴∠BCD+∠OBC=90°，…（1分）
    ∵CB⊥AD，
    ∴∠ABO+∠OCB=90°，
    ∵OC=OB，
    ∴∠OBC=∠OCB，…（1分）
    ∴∠BCD=∠ABO．…（1分）
    ∵小⊙O与AB相切于点A，
    ∴∠BAO=90°．
    ∴∠CBD=∠BAO．…（1分）
    ∴△AOB∽△BDC．…（1分）

    （2）解：过点O作OH⊥BC，垂足为H．
    ∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
    ∴四边形OABH是矩形．…（1分）
    ∵BC是大⊙O的弦，
    ∴BC=2BH=2OA=2，…（1分）
    在Rt△OAB中，AB=
    		OB2-OA2
    =
    		x2-1
    ．…（1分）
    ∵△AOB∽△BDC，
    ∴
    CD
    OB
    =
    CB
    AB
    ，…（1分）
    ∴
    y
    x
    =
    2
    		x2-1
    ，
    ∴函数解析式为y=
    2x
    		x2-1
    ，…（1分）
    定义域为：x＞1．…（1分）

    （3）解：当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，
    ∴EB≠EC．
    当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．…（1分）
    当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．…（1分）
    则
    CE
    BC
    =
    BC
    OC
    ，
    设OC=x，则CE=x-1，
    x-1
    2
    =
    2
    x
    ，
    解得：x=
    1±
    		17
    2
    （负值舍去）．
    ∴OC=
    1+
    		17
    2
    ．…（1分）
    综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或
    1+
    		17
    2
    ．
    点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式有意义的条件，切线的性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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