Question

20．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D，F是射线AB上的动点，点E是射线AC上的动点，且DA=DE，EA=EF，设AE=4t．△DEF与△ABC重叠面积为y，如图2是y关于t的函数图象（其中0≤t≤$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$＜t≤2，2＜t≤m时，函数的解析式不同）．
（1）m=$\frac{16}{5}$，n=$\frac{117}{16}$；
（2）求y关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CK⊥AB于K，EH⊥AB于H．由题意AC=AB=8，当点F与点B重合时，AE=EB=5，在Rt△EHB中，HB=4，EB=5，EH=$\sqrt{E{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3，设AD=DE=x，在Rt△EDH中，由DE²=EH²+DH²，可得x²=3²+（4-x）²，可得x=$\frac{25}{8}$，推出DH=AH-AD=$\frac{7}{8}$，推出n=S_△EDB=$\frac{1}{2}$•DB•EH=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{7}{8}$）•3=$\frac{117}{16}$，当AE=4t时，易知AD=DE=$\frac{5}{4}$•2t=$\frac{5}{2}$t，可得$\frac{5}{2}$t=8，推出t=$\frac{16}{5}$，即m=$\frac{16}{5}$．
（2）分三种情形分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作CK⊥AB于K，EH⊥AB于H．

由题意AC=AB=8，当点F与点B重合时，AE=EB=5，
在Rt△EHB中，HB=4，EB=5，EH=$\sqrt{E{B}^{2}-B{H}^{2}}$=3，设AD=DE=x，
在Rt△EDH中，∵DE²=EH²+DH²，
∴x²=3²+（4-x）²，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴DH=AH-AD=$\frac{7}{8}$，
∴n=S_△EDB=$\frac{1}{2}$•DB•EH=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{7}{8}$）•3=$\frac{117}{16}$，
当AE=4t时，易知AD=DE=$\frac{5}{4}$•2t=$\frac{5}{2}$t，
∴$\frac{5}{2}$t=8，
∴t=$\frac{16}{5}$，
∴m=$\frac{16}{5}$．
故答案为$\frac{16}{5}$，$\frac{117}{16}$．


（2）①当0≤t≤$\frac{5}{4}$，如图2中，重叠部分是△DEF．易知AD=DE=$\frac{5}{2}$t，AH=HF=$\frac{4}{5}$•4t=$\frac{16}{5}$t，EH=$\frac{3}{5}$•4t=$\frac{12}{5}$t，DH=AH-AD=$\frac{7}{10}$t，DF=DH+HF=$\frac{39}{10}$t，

∴y=$\frac{1}{2}$•DF•EH=$\frac{1}{2}$$•\frac{39}{10}$t•$\frac{12}{5}$t=$\frac{117}{25}$t²，

②当$\frac{5}{4}$＜t≤2，如图3中，重叠部分是四边形DEMB，作BE′∥EF交AC于E′，作BN⊥AC于N，则易知BK=CK=$\frac{24}{5}$，S_△BCE′=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{24}{5}$=$\frac{36}{5}$，

∵△CEM∽△CE′B，
∴$\frac{{S}_{△CEM}}{{S}_{△CE′B}}$=（$\frac{CE}{CE′}$）²，
∴S_△CEM=$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-4t}{3}$）²，
∴y=S_△ABC-S_△CEM=$\frac{1}{2}$•8•$\frac{24}{5}$-$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-4t}{3}$）²=-$\frac{64}{5}$t²+$\frac{264}{5}$t-$\frac{168}{5}$．
③当2＜t≤$\frac{16}{5}$时如图4中，重叠部分是△DMB．作CH∥ED交AB于H．易知AH=CH=5，HB=3，S_△CHB=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{24}{5}$=$\frac{36}{5}$，

∵△MDB∽△CHB，
∴$\frac{{S}_{△MDB}}{{S}_{△CHB}}$=（$\frac{DB}{HB}$）²=（$\frac{8-\frac{5}{2}t}{3}$）²，
∴y=$\frac{36}{5}$•（$\frac{8-\frac{5}{2}t}{3}$）²=5t²-32t+$\frac{256}{5}$．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{117}{25}{t}^{2}}&{（0≤t≤\frac{5}{4}）}\\{-\frac{64}{5}{t}^{2}+\frac{264}{5}t-\frac{168}{5}}&{（\frac{5}{4}＜t≤2）}\\{5{t}^{2}-32t+\frac{256}{5}}&{（2＜t≤\frac{16}{5}）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查动点问题综合题、等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会看懂图象信息，学会用分类讨论分思想思考问题，属于中考压轴题．