Question

如图，以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O，A为

BF

上一点，且

AB

=

AF

，AD⊥BC，垂足为D，过A作AE∥BF交CB的延长线于E．
求证：
（1）AE是⊙O切线；
（2）

BD

CD

=

BE

EC

；
（3）若⊙O直径为d，则

1

CD

+

1

EC

=

2

d

．

Answer 1

分析：（1）要证AE是⊙O切线，只要证明AE⊥OA即可；
（2）根据已知利用相似三角形的判定，再根据相似比之间的转化从而得到结论；
（3）根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论．

解答：证明：（1）连接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O切线．

（2）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，
∴

AB2

AC2

=

BD

CD

①
∵AE是⊙O切线；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴

AB

AC

=

AE

EC

，
∴

AB2

AC2

=

AE2

EC2

②
∵AE是⊙O切线．
∴AE²=BE•EC③
由①②③得，

BD

CD

=

BE

EC

；

（3）∵⊙O直径为d
∴

d-CD

CD

=

EC-d

EC

，
∴

d

CD

+

d

EC

=2，
∴

1

CD

+

1

EC

=

2

d

．

点评：此题考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及比例式的变形等知识．