Question

4．如图，在等边△ABC中，AC=9cm，点D为AC边上一点，且AD=6cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动．设运动时间为x秒，作∠DEF=60°，与BC边交于点F，设BF的长为ycm．
（1）当x为何值时，DE⊥AB；
（2）①求在点E运动过程中，y与x的函数关系式；当x为何值时，y的值最大；
     ②从运动开始到结束，求出点F运动路线的总长．
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻x，此时将△ADE沿着直线DE折叠，点A的对称点A′恰好落在线段BC上？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值得出答案即可；
（2）①由∠ADE+∠AED=120°和∠BEF+∠AED=120°推出∠ADE=∠BEF，证出△ADE∽△BEF，得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，代入即可，
    ②得出函数关系式后，可以发现点E自运动开始到停止运动所走的路线长度是函数的最大值的二倍，据此即可得解；
（3）根据条件可知△DCA′∽△A′BE，再根据三边之间的对应关系与x的取值范围求解，即可得出．

解答 解：（1）如图1
当DE⊥AB时，
在Rt△AED中，AD=6，∠A=60°，
AE=AD•cosA=6×cos60°=3，
∴当x=3时，DE⊥AB；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=BC=9，
∴∠ADE+∠AED=120°；
又∵∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠AED=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
∴△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
$\frac{6}{9-x}$=$\frac{x}{y}$，∴y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=$\frac{9}{2}$时，y_最大=$\frac{27}{8}$，
②由①知，y=$-\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$x，
当x=0时，y=0，当x=9时，y=0，
即：点F运动到离点B最远处时，BF=$\frac{27}{8}$，此后再回到B点，
∴点F运动路线的总长为：$\frac{27}{8}×2$=$\frac{27}{4}$（cm）；
（3）存在，
∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=9cm，
∠A=∠B=∠C=60°，
如图2
当点A的对称点A′落在线段BC上时，
DA′=DA=6，A′E=AE=x，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠DA′C+∠EA′B=120°，
又∠CDA′+∠DA′C=120°，
∴∠CDA′=∠EA′B，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△DCA′∽△A′BE，
∴$\frac{DA′}{A′E}=\frac{DC}{A′B}=\frac{CA′}{BE}$，
∴$\frac{6}{x}=\frac{3}{A′B}$，
解得：A′B=$\frac{x}{2}$，
∴$\frac{6}{x}=\frac{9-\frac{x}{2}}{9-x}$，
整理得：x²-30x+108=0，
解得：x₁=$15+3\sqrt{13}$（舍），${x}_{2}=15-3\sqrt{13}$，
∴当x=$15-3\sqrt{13}$时，点A的对称点A′恰好落在线段BC上．

点评 本题主要考查了三角形相似的判定定理与性质定理，以及用二次函数求最值的问题，灵活运用相似三角形的知识是解题的关键，在第（2）问中要注意是要求点F运动路线的总长，注意总结．