Question

已知抛物线y=px²+x+q（pq≠0）与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于点C，问△ABC能否成为直角三角形？如果能，请给出pq应满足的条件，并加以证明；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：当pq=-1时，能成为直角三角形．
理由：∵抛物线y=px²+x+q（pq≠0）与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴AB=|x₁-x₂|，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
假设△ABC能构成为直角三角形，则x₁•x₂＜0，即＜0，
由抛物线y=px²+x+q（pq≠0）可知，C点的坐标为（0，q），
∴AC²+BC²=AB²，即x₁²+2q²+x₂²=（x₁-x₂）²，q²=-x₁•x₂=-，
∵＜0，
∴-＞0，
∴q²=-x₁•x₂=-有意义，
∴pq=-1．
故能构成为直角三角形，应满足pq=-1．
分析：先由根与系数的关系得出x₁+x₂=-，x₁•x₂=，再假设△ABC能构成为直角三角形，则x₁•x₂＜0，即＜0，根据勾股定理可得出q²=-，即pq=-1．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点、根与系数的关系及勾股定理，能根据题意判断出＜0是解答此题的关键．