Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一点，DC=1cm．P、Q是直线CB上的两个动点，点P从C点出发，以1cm/s的速度沿直线CB向右运动，同时，点Q从D点出发，以2cm/s的速度沿直线CB向右运动，以PQ为一边在CB的上方作等边三角形PQR，如图是其运动过程中的某一位置．设运动的时间是t（s）．
（1）△PQR的边长是______cm（用含有t的代数式表示）；当t=______时，点R落在AB上．
（2）若等边△PQR与△ABC重叠部分的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在P、Q移动的同时，以点A为圆心、tcm为半径的⊙A也在不断变化，请直接写出⊙A与△PQR的三边所在的直线相切时t的值．

Answer 1

解：（1）△PQR的边长PQ=CQ-CP=（CD+DQ）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
∵当t为某值时，点R落在AB上，三角形RPQ是等边三角形，
∴QB=QR=QP=t+1，∠RQD=60°，
∴∠RQB=120°，∠QRB=30°，
∴△QRB为等腰三角形，
∵QB=CB-CP-PQ=6-t-（t+1）=5-2t，
∴5-2t=t+1，
解得：t=s；


（2）分为四种情况：①当0≤t＜时，如图1：重叠部分是△RPQ，
∵△RPQ的边长为t+1，
∴高为（t+1）cm，
∴y=×（t+1）×（t+1）=（t+1）²；
②当≤t＜时，如图2：重叠部分为四边形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ为等边三角形，
∴∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=（6-t），
∴MR=PR-PM=（t+1）-（6-t）=（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=（3t-4），
∴y=（t+1）²-（3t-4）²
=-t²+t-
=-（t-2）²+；
③当≤t＜6时，如图3：同理可得y=（6-t）²；
④当t≥6时，如图4：此时y=0．

（3）（一）如图a，
⊙A与RQ所在的直线相切时，切点为N，N在QR的延长线上，AB与NQ交于L点，
AN=t，得到AL=2t，
QB=5-2t，得到BL=（5-2t），
AB=4=BL-AL=（5-2t）-2t，
得到t=．
即t=．
如图b，若NR交AB与E，
∵⊙A半径=AN=t，则AE=2t，QE=QB=5-2t，BE=（5-2t），
AB=4=BE+AE=（5-2t）+2t，
∴t=，
（二）如图c：
当⊙A与PQ所在的直线相切时，
∵AC⊥PQ所在的直线，
∴⊙A半径=AC=t=2．
此时，若设AB与PR相交于M，
则AM=⊙A半径=2，
∴BM=4-2=2，
∴∠PMB=90°，
∴⊙A 也同时与PR相切．

（三）如图d：
⊙A与PR所在的直线相切时，切点为M，可知道点M在AB延长线上，
在Rt△PBM中，∠ABC=30°，有AM=t，BM=AM-AB=t-4，斜边PB=CP-BC=t-6，
所以PB=BM，有（t-6）=t-4，
得到t=4+6；

综上所述，当⊙A与QR所在的直线相切时，t=或t=，；
当⊙A与PQ所在的直线相切时，t=2；
当⊙A与PR所在的直线相切，t=2或者t=4+6．
分析：（1）根据题意，直接将△PQR的三边相加即可得出含t的表达式；易得△QRB为等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1，又QB=CB-CP-PQ，两式联立即有5-2t=t+1，解之即可得出t．
（2）易得重叠部分为一个小等边三角形，依题意分别得出底边及其对应的高即可得出重叠部分的面积．
（3）结合题意，可知有三种情况，①以点A为圆心、tcm为半径的⊙A与PQ所在的直线相切，②⊙A与PQ所在的直线相切，③⊙A与RQ所在的直线相切；分别利用切线的性质以及勾股定理，即可得出各种情况对应的t值．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，最后一问属于开放性试题，主要考查的是切线性质的实际应用；本题是一道动态几何题，综合性较强，有一定的难度．