Question

如图，☉O直径AB=10，C为☉o上一点，AC=6，弦CG平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC，DF∥AC，分别次AC、BC于点E、F．
（1）求证：四边形EDFC是正方形．
（2）求正方形EDFC的边长以及线段AD的长度；
（3）求弦AG的长度．

Answer 1

分析：（1）先求出四边形EDFC是平行四边形，再根据直径所对的圆周角是直角求出∠ECF=90°，从而得到四边形EDFC是矩形，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=DF，从而得证；
（2）设正方形的边长为x，表示出AE=6-x，再根据勾股定理列式求出BC，然后利用∠BAC的正切值列式计算即可求出正方形的边长，再求出AE，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD；
（3）根据正方形的性质求出CD，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠G，∠DAG=∠DCB，然后利用两角对应相等，两三角形相似求出△ADG和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可求出AG．

解答：（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形EDFC是平行四边形，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECF=90°，
∴?EDFC是矩形，
∵CG平分∠ACB，
∴DE=DF，
∴矩形EDFC是正方形；

（2）解：设正方形的边长为x，则AE=6-x，
∵AB=10，AC=6，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAC=

ED

AE

=

BC

AC

，
即

x

6-x

=

8

6

，
解得x=

24

7

，
即正方形EDFC的边长为

24

7

，
∴AE=6-

24

7

=

18

7

，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

( 18 7 )2+( 24 7 )2

=

30

7

；

（3）解：∵正方形EDFC的边长为

24

7

，
∴CD=

24 2

7

，
∵∠B=∠G，∠DAG=∠DCB（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△ADG∽△CDB，
∴

AG

BC

=

AD

CD

，
即

AG

8

=

30 7

24 2 7

，
解得AG=5

2

．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解直角三角形，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，（1）理清平行四边形、矩形、正方形三者之间的关系是解题的关键，（3）确定出相似三角形是解题的关键．