Question

7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，DM=DN，过D作DF⊥AC于F，证明：AM+AN=2AF．

Answer 1

分析 过点D作DG⊥AB于G，由HL分别证明Rt△ADG≌Rt△ADF和Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG=NF，AG=AF，再把AM+AN变形即可得出结论．

解答 证明：过点D作DG⊥AB于G，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，
∴DF=DG，
在Rt△ADG和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DG}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），
∴AG=AF，
在Rt△DFN和Rt△DGM中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DG}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），
∴MG=NF
又∵AG=AF，
∴AM+AN=AG+MG+AN=AF+NF+AN=2AF．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质定理等知识；熟练掌握全等直角三角形的判定与性质，并通过作辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．