Question

如图，直线l₁与坐标轴分别交于点A、B，经过原点的直线l₂与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，已知点C（3，

15

4

），且OA=8．在直线AB上取点P，过点P作y轴的平行线，与CD交于点Q，以PQ为边向右作正方形PQEF．设点P的横坐标为t．
（1）点求直线l₁的解析式；
（2）当点P在线段AC上时，试求正方形PQEF与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积的最大值；
（3）设点M坐标为(4，

9

2

)，在点P的运动过程中，点M能否在正方形PQEF内部？若能，求出t的取值范围；若不能，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件，设出直线l₁的解析式再根据C点的坐标和OA的长，求出k与b的值来，即可求出结果．
（2）先根据题意得出P、Q点的坐标，从而解出t的值，然后再分两种情况进行讨论，分别得出S的最大值，及可求出结果．
（3）本题分两种情况进行讨论，当t＜3时和t＞3时，分别求出t的取值范围，即可求出结果．

解答：解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
∵直线l₁与直线l₂交于点C，
又∵OA=8，
∴把C（3，

15

4

），A（8，0）代入上式得：

0=8k+b 15 4 =3k+b

，
解得：b=6，k=-

3

4

，
∴直线l₁的解析式为：y=-

3

4

x+6；

（2）点P在线段AC上时，根据题意有：P(t，-

3

4

t+6)，Q(t，

5

4

t)，
∴PQ=

5

4

t-(-

3

4

t+6)=2t-6，
当EF在AD上时，t+2t-6=8，有t=

14

3

，
当3＜t≤

14

3

时，S=（2t-6）²，
当t=

14

3

时，S_最大=

100

9

，
当

14

3

≤t≤8时，S=(2t-6)(8-t)=-2(t-

11

2

)2+

25

2

，
当t=

11

2

时，S最大=

25

2

；
所以，S的最大值为

25

2

；

（3）当t＜3时，有

t＜4＜6-t 5 4 t＜ 9 2 ＜- 3 4 t+6

，
解得：t＜2，
当t＞3时，有

t＜4＜3t-6 - 3 4 t+6＜ 9 2 ＜ 5 4 t

，
解得：3.6＜t＜4，
点M能在正方形PQEF内部，此时t的取值范围是3.6＜t＜4或t＜2．

点评：本题主要考查了一次函数的综合应用，解题时要注意知识的综合运用，是一道很好的题．