Question

如图所示，等边△ABC的边长为 cm，⊙O的半径为r cm．当圆心O从A点出发，沿着线路A—B—C—A运动，回到A点时，⊙O随着点O的运动而移动． (1) 若r＝ cm，求⊙O首次与BC边相切时，AO的长 (2) 在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点的个数 (3) 设⊙O在整个移动的过程中，在△ABC内部．⊙O经过的部分的面积为S．在S＞0时，求S关于r的函数解析式，写出自变量r的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	设⊙O首次与BC相切于D，连结OD，则OD⊥BC，且OD＝r＝．在Rt△BOD中，∠OBD＝，所以OB＝2，AO＝AB－OB＝(6－2)cm．
(2)	由等边三角形的边长为6cm，可得它一边上的高为9 cm．①当⊙O的半径为r＝9 cm时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；②当0＜r＜9cm时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切6次，即切点个数为6；③当R＞9cm时，⊙O在移动中与△ABC的边不相切，即切点个数为0．
(3)	如图所示，易知S＞0时，⊙O在移动中． 　　当r≥3时，知⊙O过△ABC的中心，经过的面积即为△ABC的面积，故S＝·BC×AF＝×6×9＝27(cm)2． 　　当0＜r＜3 cm时，在△ABC内部未经过的部分为止△的内部，这个正三角形的三边分别与原三角形三边平行，且平行线间的距离为r．连结，并延长，分别交，BC于E，F，则AF⊥BC，⊥，EF＝r．过作⊥AB于点G，则＝r．因为＝，所以＝2r，所以△的高＝AF－3r＝9－3r，＝＝(3－r)，所以所以所求的解析式为S＝S△ABC－＝××9－(3－r)2＝r2＋r(0＜r＜3)